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注:
拉格朗日法用来描述一个质点的运动,用初始时刻的坐标来标记质点,记录这个质点每时每刻所在的位置。用数学来表达就是r(a,b,c,t),这里a,b,c就是初始时刻质点的坐标。
拉格朗日描述其实就是理论力学里的方法。

欧拉法描述固定的空间点上的流体状态,记录每一时刻流过这个点的流体质点的速度,比如说t_1 时刻质点1流过这个空间点,我们就记录他的速度v_1,t_2 时刻质点2(不是质点1了)流过这个点,我们记录速度v_2 。欧拉法不关心某一个质点的流动,只关心固定空间点上的流动,用数学来表达就是V(x,y,z,t),这里x,y,z就是空间点的坐标了。如果固定时间t,可以看做在空间每个点上放了一个矢量v,这就是矢量场。
欧拉法配套场论,梯度散度旋度都是针对欧拉法而言的

Lagrange 表述下的应变矩阵
变形前的坐标为a_i, 变形后变成了x_i, 那么该点附近的体积元dV_a 也相应地变成了 dV_x, 体积元具有关系:
〖dV〗_x=dxdydz=|J| 〖dV〗_a=|J|dadbdc

运动方程
在不计耗散时, Lagrange 量:
L=1/2 ∑_(i=1)^3▒〖ρ_0 x ̇_i^2−Φ(η)〗
其中Φ(η)是固体的弹性能, η是 Lagrange 表述下的应变矩阵.

运用变分法求得运动方程:
d/dt (∂L/(∂x ̇_i ))+∂L/(∂x_i )=0
可以证明上式等于:
d/dt (∂L/(∂x ̇_i ))+d/〖da〗_k [∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) ]=0
证明如下:
d/〖da〗_k [∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) ]=∂L/(∂x_i )
d[∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) ]=∂L/(∂x_i ) 〖da〗_k
(∂ ∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) )/(∂a_k )=∂L/(∂x_i )
(∂ ∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) ∂x_i)/(∂a_k ∂L)=1
已知偏导的特性:
(∂ ∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) )/(∂a_k )=(∂ ∂L/(∂a_k ))/∂((∂x_i)/(∂a_k ))
因此
(∂ ∂L/∂((∂x_i)/(∂a_k )) ∂x_i)/(∂a_k ∂L)=(∂ ∂L/(∂a_k ) ∂x_i)/∂((∂x_i)/(∂a_k ))∂L=(∂ ∂L/∂L ∂a_k)/(∂((∂x_i)/(∂x_i ))∂a_k )=1
等式成立.

最终我们得到运动方程
ρ_0 x ̈_i=〖dT〗_ik/〖da〗_k
其中
T_ik=J_il ∂Φ/∂η, J_il=(∂x_i)/(∂a_l )
注意η_kl=η_lk, 但是 Jacobian 矩阵不是对称的, 所以T_ik≠T_ki, T_ki 称为工程应力.

沿坐标轴a传播的平面波
设3个位移分量表示为 u(a,t), v(a,t), w(a,t).

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